Ciocniri plastice și elastice
Etapa 1 — Fundamentele mecanice · Culegerea clasa a IX-a, secțiunea 3.6
În calcule se consideră \(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).
Problema 1 — Ciocnire unidimensională cu forță dată grafic
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 2/3 Etichete: ciocniri, impuls, teorema variației impulsului, interpretare de grafic
Enunț
Un corp cu masa \(m = 1\ \mathrm{kg}\) și viteza \(v = 15\ \mathrm{m/s}\) lovește un corp cu masa \(M = 5\ \mathrm{kg}\) aflat inițial în repaus. Ciocnirea este unidimensională, iar forța de interacțiune dintre corpuri este reprezentată în figura alăturată.
Să se afle:
- energia cinetică inițială a sistemului;
- vitezele corpurilor imediat după ciocnire;
- pierderea de energie cinetică a sistemului.
Date: \(m = 1\ \mathrm{kg}\), \(v = 15\ \mathrm{m/s}\), \(M = 5\ \mathrm{kg}\)
Rezolvare
a) Energia cinetică inițială aparține doar corpului aflat în mișcare:
\[E_{ci} = \frac{m v^2}{2} = \frac{1 \cdot 15^2}{2} = 112{,}5\ \mathrm{J}\]
b) În timpul ciocnirii are loc un transfer de impuls de la corpul de masă \(m\) spre corpul de masă \(M\). Impulsul transferat se obține din aria cuprinsă între graficul forței și axa timpului:
\[\Delta p = \frac{F_0 \cdot t}{2} = 15\ \mathrm{N \cdot s}\]
Aplicăm teorema variației impulsului pentru fiecare corp. Pentru corpul de masă \(m\), care cedează impuls:
\[-\Delta p = m v_1' – m v \quad \Rightarrow \quad v_1' = v – \frac{\Delta p}{m} = 15 – \frac{15}{1} = 0\ \mathrm{m/s}\]
Pentru corpul de masă \(M\), care primește impuls:
\[\Delta p = M v_2' – 0 \quad \Rightarrow \quad v_2' = \frac{\Delta p}{M} = \frac{15}{5} = 3\ \mathrm{m/s}\]
c) Variația energiei cinetice a sistemului:
\[\Delta E_c = \frac{m v_1'^2}{2} + \frac{M v_2'^2}{2} – \frac{m v^2}{2} = 0 + 22{,}5 – 112{,}5 = -90\ \mathrm{J}\]
Pierderea de energie cinetică este de \(90\ \mathrm{J}\).
Răspunsuri
\(E_{ci} = 112{,}5\ \mathrm{J}\) · \(v_1' = 0\ \mathrm{m/s}\), \(v_2' = 3\ \mathrm{m/s}\) · \(|\Delta E_c| = 90\ \mathrm{J}\)
Problema 2 — Ciocnire plastică frontală urmată de frânare
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 2/3 Etichete: ciocnire plastică, conservarea impulsului, frecare, căldură degajată
Enunț
Două corpuri cu masele \(m_1 = 4\ \mathrm{kg}\) și \(m_2 = 2\ \mathrm{kg}\) se mișcă unul spre celălalt cu vitezele imediat înainte de ciocnire \(v_1 = 4\ \mathrm{m/s}\) și \(v_2 = 2\ \mathrm{m/s}\). După ciocnire corpurile se mișcă împreună până la oprire, mișcarea făcându-se cu frecare (\(\mu = 0{,}1\)).
Să se afle:
- viteza corpului format imediat după ciocnire;
- căldura degajată în ciocnirea plastică;
- timpul de deplasare până la oprire, măsurat din momentul formării corpului.
Date: \(m_1 = 4\ \mathrm{kg}\), \(m_2 = 2\ \mathrm{kg}\), \(v_1 = 4\ \mathrm{m/s}\), \(v_2 = 2\ \mathrm{m/s}\), \(\mu = 0{,}1\)
Rezolvare
a) Aplicăm legea conservării impulsului pentru sistemul celor două corpuri:
\[\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_f \quad \Rightarrow \quad m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}_c\]
Proiectând pe axa orientată în sensul lui \(\vec{v}_1\), unde \(\vec{v}_2\) are sens contrar:
\[m_1 v_1 – m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_c \quad \Rightarrow \quad v_c = \frac{m_1 v_1 – m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{16 – 4}{6} = 2\ \mathrm{m/s}\]
b) Căldura degajată provine din scăderea energiei cinetice a sistemului:
\[Q = -\Delta E_c = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} – \frac{(m_1 + m_2) v_c^2}{2} = 32 + 4 – 12 = 24\ \mathrm{J}\]
Aceeași valoare rezultă din forma compactă, valabilă pentru orice ciocnire perfect plastică frontală:
\[Q = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)}(v_1 + v_2)^2 = \frac{8}{12} \cdot 36 = 24\ \mathrm{J}\]
c) Corpul nou format are mișcare uniform încetinită, cu accelerația dată de forța de frecare:
\[a = \frac{F_f}{m_1 + m_2} = \mu g = 1\ \mathrm{m/s^2}\]
Din legea vitezei \(v = v_c – \mu g t\), punând condiția de oprire \(v = 0\):
\[t_{op} = \frac{v_c}{\mu g} = \frac{2}{1} = 2\ \mathrm{s}\]
Răspunsuri
\(v_c = 2\ \mathrm{m/s}\) · \(Q = 24\ \mathrm{J}\) · \(t_{op} = 2\ \mathrm{s}\)
Problema 3 — Ciocnire plastică cu energie cinetică relativă dată
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 3/3 Etichete: ciocnire plastică, mișcare relativă, sistemul centrului de masă, căldură degajată
Enunț
Două corpuri cu mase egale \(m = 4\ \mathrm{kg}\) se deplasează de-a lungul aceleiași drepte orizontale unul spre celălalt, cu viteze egale. Energia cinetică totală a mișcării lor relative este \(E_{c,\mathrm{rel}} = 100\ \mathrm{J}\). Corpurile se ciocnesc plastic.
Să se afle:
- viteza comună a corpului nou format după ciocnire;
- vitezele corpurilor imediat înainte de ciocnire;
- căldura degajată la ciocnirea corpurilor.
Date: \(m_1 = m_2 = m = 4\ \mathrm{kg}\), \(E_{c,\mathrm{rel}} = 100\ \mathrm{J}\)
Rezolvare
a) Din conservarea impulsului, cu \(\vec{v}_1 = \vec{v}\) și \(\vec{v}_2 = -\vec{v}\):
\[m\vec{v} + m(-\vec{v}) = 2m\,\vec{v}_c \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_c = 0\]
Corpul nou format se oprește imediat după ciocnirea plastică. Impulsul total al sistemului era nul înainte de ciocnire, deci rămâne nul și după.
b) Cu \(v_{\mathrm{rel}} = |\vec{v}_1 – \vec{v}_2| = 2v\):
\[E_{c,\mathrm{rel}} = \frac{2m\, v_{\mathrm{rel}}^2}{2} = m(2v)^2 = 4mv^2\]
\[|v| = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{E_{c,\mathrm{rel}}}{m}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{100}{4}} = 2{,}5\ \mathrm{m/s}\]
c) Deoarece energia cinetică finală este nulă, întreaga energie cinetică inițială se transformă în căldură:
\[Q = -\Delta E_c = 2 \cdot \frac{m v^2}{2} = m v^2 = 4 \cdot 6{,}25 = 25\ \mathrm{J}\]
Răspunsuri
\(v_c = 0\) · \(|v| = 2{,}5\ \mathrm{m/s}\) · \(Q = 25\ \mathrm{J}\)
Problema 4 — Glonț înfipt într-un bloc de lemn
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 2/3 Etichete: ciocnire plastică, pendul balistic, frecare, teorema energiei cinetice
Enunț
Un glonț cu masa \(m = 10\ \mathrm{g}\) care se deplasează pe orizontală cu viteza \(u_0 = 200\ \mathrm{m/s}\) intră și rămâne într-un bloc de lemn cu masa \(M = 990\ \mathrm{g}\), aflat inițial în repaus. Coeficientul de frecare dintre bloc și suprafața orizontală este \(\mu = 0{,}1\).
Să se afle:
- viteza sistemului imediat după ciocnire;
- căldura degajată în urma ciocnirii;
- distanța parcursă de sistem până la oprire.
Date: \(m = 0{,}01\ \mathrm{kg}\), \(u_0 = 200\ \mathrm{m/s}\), \(M = 0{,}99\ \mathrm{kg}\), \(\mu = 0{,}1\)
Rezolvare
a) Conservarea impulsului pentru sistemul glonț–bloc:
\[m \vec{u}_0 = (m + M)\vec{v}_c \quad \Rightarrow \quad v_c = \frac{m u_0}{m + M} = \frac{0{,}01 \cdot 200}{1} = 2\ \mathrm{m/s}\]
b) Căldura degajată, cu forma compactă a ciocnirii perfect plastice pe țintă în repaus:
\[Q = \frac{mM}{2(m+M)}\,u_0^2 = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}99}{2 \cdot 1} \cdot 40000 = 198\ \mathrm{J}\]
c) Aplicăm teorema variației energiei cinetice pentru corpul nou format, între momentul formării și cel al opririi. Lucrul mecanic al normalei și al greutății este nul, rămâne doar cel al forței de frecare:
\[-\frac{(m+M) v_c^2}{2} = -\mu (m+M) g \, s_{op} \quad \Rightarrow \quad s_{op} = \frac{v_c^2}{2\mu g} = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{m}\]
Răspunsuri
\(v_c = 2\ \mathrm{m/s}\) · \(Q = 198\ \mathrm{J}\) · \(s_{op} = 2\ \mathrm{m}\)
Problema 5 — Proiectil care străbate blocul
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 3/3 Etichete: ciocnire inelastică, conservarea impulsului, frecare, energie disipată
Enunț
Un proiectil cu masa \(m_1 = 2\ \mathrm{g}\), deplasându-se pe orizontală cu viteza \(v_1 = 500\ \mathrm{m/s}\), străbate un bloc de lemn cu masa \(m_2 = 1\ \mathrm{kg}\) aflat inițial în repaus pe o suprafață orizontală și iese din acesta cu viteza \(v_1' = 100\ \mathrm{m/s}\). Considerând neglijabilă deplasarea blocului în timpul interacțiunii cu proiectilul și știind că blocul alunecă până la oprire pe distanța \(d = 20\ \mathrm{cm}\):
Să se afle:
- coeficientul de frecare dintre bloc și suprafață;
- energia cinetică pierdută de proiectil;
- energia cinetică a blocului imediat după trecerea proiectilului.
Date: \(m_1 = 0{,}002\ \mathrm{kg}\), \(v_1 = 500\ \mathrm{m/s}\), \(m_2 = 1\ \mathrm{kg}\), \(v_1' = 100\ \mathrm{m/s}\), \(d = 0{,}2\ \mathrm{m}\)
Rezolvare
a) În timpul străbaterii blocului, forțele dintre proiectil și bloc sunt interne pentru sistem și nu pot modifica impulsul total. Forțele externe fiind neglijabile pe durata interacțiunii, impulsul se conservă:
\[m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{m_1 (v_1 – v_1')}{m_2} = \frac{0{,}002 \cdot 400}{1} = 0{,}8\ \mathrm{m/s}\]
Aplicăm apoi teorema variației energiei cinetice pentru bloc, între pornire și oprire:
\[-\frac{m_2 v_2^2}{2} = -\mu m_2 g d \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{v_2^2}{2 g d} = \frac{0{,}64}{4} = 0{,}16\]
b) Energia cinetică pierdută de proiectil:
\[\Delta E = \frac{m_1}{2}\left(v_1'^2 – v_1^2\right) = 0{,}001 \cdot (10^4 – 25 \cdot 10^4) = -240\ \mathrm{J}\]
Proiectilul pierde \(240\ \mathrm{J}\).
c) Energia cinetică a blocului imediat după trecerea proiectilului:
\[E_{c,\mathrm{bloc}} = \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{1 \cdot 0{,}64}{2} = 0{,}32\ \mathrm{J}\]
Răspunsuri
\(\mu = 0{,}16\) · \(|\Delta E| = 240\ \mathrm{J}\) · \(E_{c,\mathrm{bloc}} = 0{,}32\ \mathrm{J}\)
Problema 6 — Cuplarea a două vagoane, cu frecare înainte și după
Referință: C1 · 3.6 · p. 101 / rezolvări p. 293 · dificultate 3/3 Etichete: ciocnire plastică, frecare, cinematică, problemă în etape
Enunț
Un vagon cu masa \(m_1 = 10\ \mathrm{t}\) se deplasează pe o cale ferată orizontală cu viteza inițială \(v_0 = 7\ \mathrm{m/s}\). După un timp \(\Delta t = 10\ \mathrm{s}\), vagonul se ciocnește și se cuplează cu un al doilea vagon cu masa \(m_2 = 20\ \mathrm{t}\), aflat în repaus. În timpul mișcării, atât înainte cât și după ciocnire, asupra vagoanelor se exercită forțe de frecare, coeficientul de frecare fiind \(\mu = 0{,}01\).
Să se afle:
- viteza primului vagon imediat înainte de ciocnire;
- viteza comună a vagoanelor după cuplare și căldura degajată prin ciocnire;
- spațiul parcurs de vagoane până la oprire.
Date: \(m_1 = 10^4\ \mathrm{kg}\), \(v_0 = 7\ \mathrm{m/s}\), \(\Delta t = 10\ \mathrm{s}\), \(m_2 = 2 \cdot 10^4\ \mathrm{kg}\), \(\mu = 0{,}01\)
Rezolvare
a) Mișcarea vagonului se face cu frecare, deci este uniform încetinită, cu accelerația:
\[a = \frac{F_f}{m_1} = \mu g = 0{,}1\ \mathrm{m/s^2}\]
Din legea vitezei:
\[v = v_0 – a\,\Delta t = 7 – 0{,}1 \cdot 10 = 6\ \mathrm{m/s}\]
b) Aplicăm conservarea impulsului la cuplare, folosind viteza \(v\) din momentul impactului, nu \(v_0\):
\[m_1 v = (m_1 + m_2) v_c \quad \Rightarrow \quad v_c = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{10^4 \cdot 6}{3 \cdot 10^4} = 2\ \mathrm{m/s}\]
Căldura degajată prin ciocnire:
\[Q = \frac{m_1 v^2}{2} – \frac{(m_1 + m_2) v_c^2}{2} = 1{,}8 \cdot 10^5 – 0{,}6 \cdot 10^5 = 1{,}2 \cdot 10^5\ \mathrm{J}\]
Aceeași valoare din forma compactă cu masa redusă:
\[Q = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)}\,v^2 = \frac{10^4 \cdot 2 \cdot 10^4}{6 \cdot 10^4} \cdot 36 = 1{,}2 \cdot 10^5\ \mathrm{J}\]
c) Teorema variației energiei cinetice pentru corpul nou format:
\[-\frac{(m_1+m_2) v_c^2}{2} = -\mu (m_1+m_2) g\, s_{op} \quad \Rightarrow \quad s_{op} = \frac{v_c^2}{2\mu g} = \frac{4}{0{,}2} = 20\ \mathrm{m}\]
Răspunsuri
\(v = 6\ \mathrm{m/s}\) · \(v_c = 2\ \mathrm{m/s}\), \(Q = 1{,}2 \cdot 10^5\ \mathrm{J}\) · \(s_{op} = 20\ \mathrm{m}\)
Legătura cu fizica nucleară
Cele șase probleme de mai sus aparțin mecanicii clasice, dar formează fundația matematică pentru o parte importantă din fizica nucleară care urmează în acest traseu.
Masa redusă, \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\), care apare în forma compactă a căldurii degajate la ciocnirile plastice, este aceeași mărime care determină energia disponibilă și energia de prag ale unei reacții nucleare — și motivul pentru care acceleratoarele moderne ciocnesc fascicule unul de altul, nu un fascicul de o țintă fixă.
Asimetria observată la ciocnirea proiectil–țintă grea — proiectilul pierde aproape toată energia, iar ținta abia se mișcă — este exact tiparul întâlnit la captura neutronilor de către nuclee grele: nucleul rămâne puternic excitat, nu propulsat. Același tipar guvernează și împrăștierea Compton.
Aparatul matematic al ciocnirii frontale elastice se regăsește identic la efectul Compton și la moderarea neutronilor într-un reactor — motiv pentru care aceste șase probleme sunt tratate ca temelie, nu ca exercițiu izolat, în drumul către fizica nucleară.
Surse și referințe
- Chiriță, Mihaela. Fizică: culegere de probleme propuse și rezolvate pentru clasa a IX-a și examenul de bacalaureat. București: Editura Tamar, 2018. ISBN 978-606-8010-56-4. — sursa enunțurilor pentru Problemele 1–6 (secțiunea 3.6, p. 101 / rezolvări p. 293).