Material de aprofundare — nivel universitar (anul II). Punctul culminant matematic al drumului.
1. Ecuația Schrödinger
Starea unei particule este descrisă de funcția de undă \(\psi\), cu \(|\psi|^2\) = densitatea de probabilitate. Pentru stări staționare de energie \(E\): \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\,\psi = E\,\psi \] Este ecuația fundamentală a fizicii microscopice — analogul cuantic al legii lui Newton. Tot ce urmează sunt soluțiile ei în potențiale simple.
2. Particula în groapă: de unde vin nivelurile
Într-o groapă infinită de lărgime \(L\), condițiile la limită (\(\psi = 0\) la pereți) selectează doar undele staționare \(\psi_n \propto \sin(n\pi x/L)\), cu energiile \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots \] Cuantificarea nu se postulează — rezultă, exact ca frecvențele unei coarde fixate la capete. Estimare nucleară imediată: un nucleon (\(mc^2 \approx 939\) MeV) închis în \(L = 5\) fm dă, cu \(\hbar c = 197\) MeV·fm: \(E_1 = \pi^2 (\hbar c)^2 / (2 mc^2 L^2) \approx 8\) MeV — ordinul corect al energiilor nucleare, dintr-un calcul de trei rânduri. (Același calcul cu un electron în cutia atomică de 1 Å dă ~eV: ambele scări de energie ale fizicii microscopice ies din aceeași formulă.)
3. Efectul de tunel, cantitativ
Într-o barieră cu \(V_0 > E\), soluția nu se anulează, ci scade exponențial, \(\psi \propto e^{-\kappa x}\), cu \(\kappa = \sqrt{2m(V_0 – E)}/\hbar\); probabilitatea de traversare a unei bariere de grosime \(a\): \[ T \sim e^{-2\kappa a} \] Sensibilitatea exponențială la \(m\), \(a\) și \(V_0 – E\) este semnătura fenomenului: variații mici de energie schimbă rata cu multe ordine de mărime.
4. Factorul Gamow: dezintegrarea \(\alpha\) și focul stelelor
Pentru bariera Coulomb (Pasul 5 academic), integrarea WKB a exponentului dă factorul Gamow: \[ T \sim \exp\left( -\frac{2\pi Z_1 Z_2 e^2}{4\pi\varepsilon_0\, \hbar v} \right) \] Două triumfuri istorice dintr-o singură formulă. (i) Dezintegrarea \(\alpha\) (Gamow, 1928): particula \(\alpha\) „încearcă” bariera de ~1021 ori pe secundă cu probabilitate infimă de evadare; sensibilitatea exponențială explică de ce timpii de înjumătățire variază de la microsecunde la miliarde de ani deși energiile \(\alpha\) diferă doar cu un factor 2 — legea empirică Geiger–Nuttall, demonstrată teoretic. (ii) Fuziunea solară: produsul dintre coada Maxwell–Boltzmann (\(e^{-E/k_BT}\), Pasul 4 academic) și factorul Gamow (\(e^{-b/\sqrt E}\)) are un maxim îngust — vârful Gamow — fereastra energetică îngustă în care ard efectiv stelele. Primul mare succes al mecanicii cuantice aplicate nucleului.
5. Principiul de incertitudine, ca inegalitate de lucru
\[ \Delta x\, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] Nu e o limită a aparatelor, ci o proprietate a naturii ondulatorii. Folosit „ingineresc”, dă estimări remarcabile: localizarea unui nucleon în \(\Delta x \sim\) fm cere \(p \sim \hbar/\Delta x \approx 200\) MeV/c, deci zeci de MeV energie cinetică — nucleonii nu pot sta liniștiți; chiar și „legați”, mișună cu ~20% din viteza luminii. Aceeași estimare a exclus istoric prezența electronilor în nucleu — un electron confinat la 1 fm ar avea sute de MeV, incompatibil cu energiile \(\beta\) observate: nucleul e făcut din nucleoni, iar electronul \(\beta\) se creează la dezintegrare.
⬅ Înapoi la Pasul 11 (nivel liceal) · Drumul către fizica nucleară