Material de aprofundare — nivel universitar (anul I). Necesar: derivate, integrale simple; vectorii sunt introduși din mers.
1. Lucrul mecanic ca integrală de linie
Definiția generală a lucrului mecanic efectuat de forța \(\vec F\) pe o curbă \(C\): \[ L = \int_C \vec F \cdot d\vec r \] Cazul din liceu, \(L = F d \cos\alpha\), este particularizarea pentru forță constantă și drum rectiliniu. Teorema energiei cinetice se demonstrează în trei rânduri, pornind de la legea a II-a: \[ \int \vec F \cdot d\vec r = \int m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v\, dt = \int d\!\left( \frac{m v^2}{2} \right) = \Delta E_c \] Ce era în liceu o regulă de memorat devine aici o identitate matematică.
2. Forțe conservative și energia potențială
O forță este conservativă dacă lucrul ei nu depinde de drum, echivalent cu \(\oint \vec F \cdot d\vec r = 0\) pe orice contur închis, echivalent (pe domenii simplu conexe) cu \(\nabla \times \vec F = 0\). Numai atunci se poate defini energia potențială: \[ U(\vec r) = -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F \cdot d\vec r’, \qquad \vec F = -\nabla U \] Semnul minus codifică intuiția de la nivelul liceal: forța împinge sistemul la vale, spre energia potențială mai mică. Exemple standard: \(U_{grav} = -\dfrac{G M m}{r}\), \(U_{elastic} = \dfrac{k x^2}{2}\), \(U_{Coulomb} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r}\). Frecarea, care depinde de drum, nu are potențial — de aceea „fură” energie mecanică.
3. Echilibru, stabilitate și micile oscilații
Pozițiile de echilibru sunt punctele critice ale potențialului, \(dU/dx = 0\): minimele sunt echilibre stabile, maximele — instabile. Lângă un minim \(x_0\), dezvoltarea Taylor dă \[ U(x) \simeq U(x_0) + \tfrac12 U”(x_0)\,(x-x_0)^2 \] adică orice sistem fizic vibrează, la amplitudini mici, ca un oscilator armonic cu \(k = U”(x_0)\). Acesta este unul dintre cele mai puternice rezultate din toată fizica — de la molecule la nuclee (modurile colective de vibrație nucleară) și la câmpurile cuantice.
4. Aplicația nucleară: energia de legătură și formula Weizsäcker
Nucleonii stau într-o groapă de potențial generată de forța tare, cu adâncime de ordinul \(40\ \mathrm{MeV}\). Energia de legătură a nucleului \((Z, A)\) este definită prin bilanțul de mase: \[ B(Z,A) = \left[ Z m_p + (A-Z) m_n – M(Z,A) \right] c^2 \] Formula semi-empirică a masei (Bethe–Weizsäcker, 1935) o modelează ca pe o picătură de lichid încărcată: \[ B = a_V A – a_S A^{2/3} – a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} – a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} + \delta(A,Z) \] cu \(a_V \simeq 15{,}8\), \(a_S \simeq 18{,}3\), \(a_C \simeq 0{,}71\), \(a_A \simeq 23{,}2\) MeV. Citirea fizică a termenilor: volumul (fiecare nucleon se leagă de vecini), suprafața (cei de la margine au mai puțini vecini — de aici forma sferică), respingerea Coulomb (crește cu \(Z^2\), slăbește nucleele grele), asimetria (efect pur cuantic: echilibrul \(N \approx Z\) e favorizat) și împerecherea \(\delta\). Maximul lui \(B/A\) — vârful de la fier — și instabilitatea nucleelor grele ies calculabil din această formulă: exact curba care, la nivel liceal, explica fisiunea și fuziunea.
⬅ Înapoi la Pasul 2 (nivel liceal) · Drumul către fizica nucleară